Sebagai dasar pemahaman intuitif ini, kita perlu mengingat tentang bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.
Misal diberikan fungsi $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}$. Untuk $x=1$, diperoleh $f(1)=\frac{1^{2}-1}{1-1}=\frac{0}{0}$ yang merupakan bentuk tak tentu.
Perhatikan tabel berikut.
$x$
|
0,5
|
0
|
0,9999
|
….
|
1
|
….
|
1,0001
|
1,5
|
2
|
$f(x)$
|
1,5
|
1
|
1,9999
|
….
|
??? |
….
|
2,0001
|
2,5
|
3
|
Dari tabel di atas telihat bahwa ketika $x$ bergerak dari kiri (dari $x=0,5$ menuju ke $x=1$, tetapi $ x\neq1$), nilai $f(x)$ bergerak ke arah $f(x)=1,9999\approx 2$, yang disebut limit kiri dan ditulis
\[\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2\]
Ketika $x$ bergerak dari kanan (dari $x=2$ menuju ke $x=1$, tetapi $ x\neq1$), nilai $f(x)$ bergerak ke arah $f(x)=2,0001\approx 2$, yang disebut limit kanan dan ditulis
\[\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2\]
Jadi limit $f(x)$ adalah 2 jika $x$ mendekati 1 baik dari kiri maupun dari kanan, dan ditulis
\[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2\]
Perhatikan pula grafik fungsi $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}$ berikut [klik gambar untuk zoom].
Maka secara intuitif pengertian limit fungsi dapat kita nyatakan sebagai berikut.
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$ berarti limit $f(x)$ adalah $\displaystyle L$ jika $x$ mendekati $a$ baik dari kiri maupun kanan.Secara matematis pengertian limit secara intuitif di atas kurang bermakna, sebab dengan menggunakan kalimat “mendekati” akan memunculkan pertanyaan: "seberapa dekatnya?"
Augustin Louis Cauchy selanjutnya menyusun definisi tentang limit secara formal sebagai berikut.
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$ berarti untuk setiap $\displaystyle \varepsilon >0$ betapapun kecilnya yang diberikan, terdapat $\displaystyle \delta >0$ sedemikan sehingga $\displaystyle \left | f(x)-L \right |<\varepsilon$ untuk setiap $\displaystyle \left | x-a \right |<\delta$.Selanjutnya, kita juga perlu mengetahui bahwa tidak semua fungsi memiliki limit pada titik tertentu, dimana suatu titik tertentu itu memunculkan bentuk tak terdefinisi, yaitu $\frac{c}{0}$ untuk $c\neq 0$, misalnya $\frac{2}{0}$.
Sebagai contoh untuk fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}$ tak terdefinisi untuk $\displaystyle x=0$.
Perhatikan tabel berikut.
| $x$ |
-2
|
-1
|
-0,0001
|
….
|
0
|
….
|
0,0001
|
1
|
2
|
| $f(x)$ |
-1
|
-2
|
-20000
|
….
|
….
|
20000
|
2
|
1
|
Perhatikan grafik fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}$ berikut [klik gambar untuk zoom].
Dalam kasus ini, jika $x$ mendekati 0 baik dari kiri maupun kanan, nilai limit $f(x)$ tidak sepadan/sama. Jadi $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{x}$ tidak ada.