Salah satu aplikasi dari turunan fungsi dapat kita lihat ketika kita diminta untuk menentukan luas minimum suatu benda untuk tujuan tertentu, misalnya untuk meminimalkan biaya.
Aplikasi yang sangat sederhana dapat kita lihat pada fungsi aljabar satu variabel, yaitu ketika kita diminta menentukan luas bahan minimal yang dibutuhkan untuk membuat kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi dengan volume 108 cm$^{3}$
Penyelesaian :
Langkah 1. Menentukan Rumus Fungsi
Kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi dibentuk dari 1 persegi dan 4 persegi panjang kongruen. Dalam kasus ini kita akan menentukan rumus fungsi luas permukaan kotak tanpa tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi.
Misalkan kotak tersebut memiliki sisi s cm dan tinggi t, maka luas permukaan kotak dirumuskan
$\displaystyle A = s^{2} + 4st$.
Langkah 2. Menyederhanakan Rumus Fungsi
Setelah kita mendapatkan rumus fungsi, selanjutnya kita perlu menyederhanakan rumus fungsi dalam satu variabel dengan tujuan untuk menyederhanakan perhitungan selanjutnya.
Karena diketahui volumenya $V$ cm $^{3}$, maka kita mendapatkan
$\displaystyle V=s^{2}t \Rightarrow t= \frac{V}{s^{2}}$
Sehingga rumus luas permukaan kotak menjadi
$\displaystyle A = s^{2} + \frac{4sV}{s^{2}}=s^{2} + \frac{4V}{s}$
Langkah 3. Menentukan Turunan Fungsi
Selanjutnya kita menentukan turunan fungsi, karena untuk mencapai luas minimum disyaratkan $\frac{\delta A}{\delta x}=0$ .
Turunan fungsi $A =s^{2} + \frac{4V}{s}$ adalah
$\displaystyle \frac{\delta A}{\delta x} = 2s - \frac{4V}{s^{2}}$
Langkah 4. Menentukan Nilai s
Karena $2s - \frac{4V}{s^{2}}=0$, maka $2s = \frac{4V}{s^{2}}$. Sehingga
$\displaystyle 2s = \frac{4V}{s^{2}} \Rightarrow 2s^{3}=4V$
$\displaystyle \Rightarrow s^{3}=2V$
$\displaystyle \Rightarrow s^{3}=2\cdot 108$
$\displaystyle \Rightarrow s^{3}=216$
$\displaystyle \Rightarrow s=\sqrt[3]{216}=6$
Langkah 5. Menentukan Nilai t
Karena $ t= \frac{V}{s^{2}}$, maka
$\displaystyle t= \frac{V}{s^{2}}=\frac{108}{6^{2}}=\frac{108}{36}=3$
Langkah 6. Menentukan Luas Minimum
Dalam perhitungan pada langkah sebelumnya kita peroleh ukuran kotak 6 cm $\times$ 6 cm $\times$ 3 cm. Sehingga kita peroleh
$\displaystyle A = s^{2} + 4st = 6^{2} + 4\cdot 6\cdot 3=36+72=108$
Jadi luas bahan minimal yang dibutuhkan untuk membuat kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi dengan volume 108 cm$^{3}$ adalah 108 cm$^{2}$.