Pembuktian : Asal Mula Rumus abc

Rumus abc dikenal pula dengan Rumus Kuadrat. Dalam postingan saya sebelumnya, yaitu tentang Metode Melengkapkan Kuadrat dapat kita gunakan sebagai pemahaman untuk membuktikan rumus abc. Sebagaimana saya tuliskan dalam postingan tersebut bahwa konsep yang dipakai adalah mengubah bentuk kuadrat dalam persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ sedemikian sehingga menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu $\left ( a+b \right )^{2}$.

Perhatikan langkah-langkah pembuktian berikut.

$\displaystyle ax^{2}+bx+c=0$

$\displaystyle \Rightarrow ax^{2}+bx=0-c$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{ax^{2}}{a}+\frac{bx}{a}=-\frac{c}{a}$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a} \right )^{2}=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a} \right )^{2}$ 

$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a}\right )^{2}=-\frac{c}{a}+ \frac{b^{2}}{4a^{2}}$
$\displaystyle \Rightarrow \left (x+ \frac{b}{2a}\right )^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}$
$\displaystyle \Rightarrow \left (x+ \frac{b}{2a}\right )^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$
$\displaystyle \Rightarrow x+ \frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$
$\displaystyle \Rightarrow x=- \frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$
$\displaystyle \Rightarrow x=- \frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$\displaystyle \Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$
$\displaystyle \Rightarrow x= \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ 

Untuk melihat contoh penggunaannya silahkan baca postingan saya sebelumnya tentang Penggunaan Rumus abc.