Fungsi pembangkit dari barisan bilangan real $a_1,a_2,\ldots,a_k,\ldots$ adalah sebuah deret tak hinggaPada deret tersebut, pangkat dari variabel $x$ merupakan indikator sedemikian hingga koefisien dari $x^n$ adalah nilai barisan ke-$n$. Untuk sebuah barisan $a_n$ digunakan nama $G(x)$ untuk menyatakan fungsi pembangkitnya.
\begin{align*}
G(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k+\ldots=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k
\end{align*}
Contoh 1
Fungsi pembangkit untuk barisan $(a_k)$ dengan $a_k=3,$ $a_k=k+1,$ dan $a_k=2^k$ adalah
$\sum_{k=0}^\infty 3x^k,$ $\sum_{k=0}^\infty (k+1)x^k,$ dan $\sum_{k=0}^\infty 2^kx^k.$
Kita dapat mendefinisikan fungsi pembangkit untuk barisan bilangan real berhingga dengan mengembangkan barisan berhingga $a_0,a_1.\ldots,a_n$ kedalam barisan tak hingga dengan mengatur $a_{n+1}=0, a_{n+2},$ dan seterusnya. Fungsi pembangkit barisan tak hingga $(a_n)$ ini adalah polinomial dengan derajat $n$, karena untuk $j>n$ tidak ada suku yang berbentuk $a_jx^j$, fungsi pembangkitnya berbentuk
\begin{align*}
G(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n
\end{align*}
Contoh 2
Bagaimanakah fungsi pembangkit untuk barisan 1,1,1,1,1,1,0,0,....?
Fungsi pembangkit untuk barisan 1,1,1,1,1,1,0,0,... adalah
\begin{align*}
G(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5
\end{align*}Berdasarkan rumus deret geometri jika $r<1,$ maka
\begin{align*}
G(x)=\sum_{k=0}^5 x^k= \frac{1-x^{5+1}}{1-x}=
\frac{1-x^6}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5
\end{align*}dengan $x < 1$. Jadi, fungsi pembangkit untuk barisan 1,1,1,1,1,1 adalah $G(x)=\frac{1-x^6}{1-x}$.
$\tag*{$\blacklozenge$}$
Contoh 3
Misalkan $m$ adalah bilangan bulat positif. Misalkan pula $a_k=C(m,k)$ untuk $k=0,1,2,\ldots,m$. Tentukan fungsi pembangkit untuk barisan $a_0,a_1,\ldots,a_m$.
Fungsi pembangkit untuk barisan ini adalah
\begin{align*}
G(x)=C(m,0)+C(m,1)x+C(m,2)x^2+\ldots+C(m,m)x^m.
\end{align*} Berdasarkan teorema binomial, $G(x)=(1+x)^m.$
Fakta Tentang Power Series
Contoh 4Fungsi $f(x)=\frac{1}{(1-x)}$ adalah fungsi pembangkit dari barisan 1,1,1,..., karena
\begin{align*}
\frac{1}{(1-x)}=1+x+x^2+\ldots
\end{align*} untuk $|x|<1$.
Contoh 5
Fungsi $f(x)=\frac{1}{(1-ax)}$ adalah fungsi pembangkit dari barisan $1,a,a^2,a^3$,..., karena
\begin{align*}
\frac{1}{(1-ax)}=1+ax+a^2x^2+\ldots
\end{align*} dengan $|ax|<1$ atau ekivalen dengan $|x|<\frac{1}{|a|}$ untuk $a \neq 0$.
Contoh 6
Tentukan fungsi pembangkit untuk barisan 2,4,1,1,1,1,1,1,1,...
Fungsi pembangkit untuk barisan ini adalah
\begin{align*}
G(x)&=2+4x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots=(1+3x)+(1+x+x^2+x^3+\ldots)\\
&=(1+3x)+\sum_{k=0}^\infty x^k = 1+3x+\frac{1}{1-x}
\end{align*}
Teorema 1
Misalkan $f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$ dan $g(x)=\sum_{k=0}^\infty b_kx^k$. Maka $f(x)+g(x)=\sum_{k=0}^\infty (a_k+b_k)x^k$ $f(x)g(x)=\sum_{k=0}^\infty (\sum_{j=0}^k a_jb_{k-j})x^k$Contoh 7
Misalkan $f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$, gunakan Contoh 3 untuk menemukan koefisien $a_0,a_1,a_2,\ldots$ dalam ekspansi $f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$
Jawab: Berdasarkan Contoh 3
\begin{align*}
\frac{1}{(1-x)}=1+x+x^2+x^3+\ldots
\end{align*} Sehingga berdasarkan Teorema 1, diperoleh
\begin{align*}
\frac{1}{(1-x)^2}= \sum_{k=0}^\infty (\sum_{j=0}^k
1)x^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)x^k
\end{align*}
$\tag*{$\blacklozenge$}$
Contoh 8
Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 3,1,3,1,3,1,...
Jawab: Fungsi pembangkit barisan 3,1,3,1,3,1,... dapat diperoleh dengan mengkombinasikan fungsi pembangkit dua barisan, yaitu barisan 1,1,1,1,1,... dan barisan 2,0,2,0,2,0,.... Fungsi pembangkit dari
barisan 2,0,2,0,2,0,... adalah
\begin{align*}
G(x)=2+2x^2+2x^4+\ldots = 2(1+x^2+x^4+\ldots)=\frac{2}{1-x^2}
\end{align*} Sehingga fungsi pembangkit untuk barisan 3,1,3,1,3,1,... adalah
\begin{align*}
G(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{2}{1-x^2}
\end{align*}
$\tag*{$\blacklozenge$}$
Kadangkala integral dan turunan dari deret tak hingga dapat digunakan untuk mendapatkan fungsi pembangkit dari berbagai macam barisan.
Contoh 9
Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 1,2,3,4,...
Fungsi pembangkit barisan 1,2,3,4,... adalah
\begin{align*}
G(x)&=1+2x+3x^2+4x^+\ldots=\frac{d}{dx}(x+x^2+x^3+x^4+\ldots)\\
&=\frac{d}{dx}(1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots)=\frac{d}{dx}(\frac{1}{1-x})=\frac{1}{(1-x)^2}
\end{align*}
$\tag*{$\blacklozenge$}$
Contoh 10
Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 0,1,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,...
Fungsi pembangkit barisan 0,1,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,... adalah
\begin{align*}
G(x)&=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\ldots= \int(1+x+x^2+x^3+\ldots)dx \\
&=\int (\frac{1}{1-x})dx=|c|-ln(1-x)
\end{align*} dimana $|c|$ adalah konstanta.
Teorema 2
Misalkan barisan $a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots$ memiliki fungsi pembangkit $f(x)$, maka untuk setiap $k \in \mathbb{N}$, fungsi pembangkit dari barisanBukti:
\begin{align*}
\underbrace{0,0,0,0,0}_{k},a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots
\end{align*}
Fungsi pembangkit dari $\underbrace{0,0,0,0,0}_{k},a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots$ adalah
\begin{align*}
a_0x^k+a_1x^{k+1}+a_2x^{k+2}+a_3x^{k+3}+\ldots&=x^k(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots)\\
&=x^kf(x)
\end{align*}
$\tag*{$\blacksquare$}$
Contoh 11
Fungsi pembangkit dari barisan 0,1,1,1,1,... adalah $\frac{x}{1-x}$ dan fungsi pembangkit dari barisan 0,0,0,0,0,1,2,3,4,... adalah $\frac{x^5}{(1-x)^2}$ serta fungsi pembangkit dari 0,0,0,0,3,1,3,1,3,1,... adalah$\frac{x^4}{1-x}$+$\frac{2x^4}{1-x^2}$
Contoh 12
Tentukan fungsi pembangkit dari barisan $a_0,a_1,a_2,\ldots$ dimana $a_n=n^2+n$ untuk setiap $n$ bilangan bulat nonnegatif.
:
Untuk menemukan fungsi pembangkit dari barisan tersebut, misalkan $F(x)$ dan $G(x)$ menotasikan fungsi pembangkit dari barisan $0,1^2,2^2,3^2,4^2,\ldots$ dan $0,1,2,3,4,\ldots$. Dari Contoh 8, dapat ditemukan bahwa $G(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$. Sedangkan untuk mencari $F(x)$, pandanglah fungsi pembangkit dari barisan $1^2,2^2,3^2,4^2,\ldots$ berikut ini.
\begin{align*}
1^2+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+\ldots&=\frac{d}{dx}(x+2x^2+3x^3+4x^4+\ldots)\\
&=\frac{d}{dx}(G(x))=\frac{d}{dx}(\frac{x}{(1-x)^2})=\frac{1+x}{(1-x)^3}
\end{align*} Sehingga, berdasarkan Teorema 2 didapatkan $F(x)=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$. Dengan demikian, fungsi pembangkit yang dicari adalah
\begin{align*}
H(x)=F(x)+G(x)=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}+\frac{x}{(1-x)^2}=\frac{2x}{(1-x)^3}
\end{align*}
$\tag*{$\blacklozenge$}$
Sumber : http://emodul-matematika.fmipa.unej.ac.id/ModulKombinatorika/Fungsi%20Pembangkit.html