Konsep yang dipakai dalam metode ini secara umum adalah mengubah bentuk kuadrat dalam persamaan kuadrat sedemikian sehingga menjadi bentuk kuadrat sempurna:
Penjabaran bentuk kuadrat sempurna itu telah kita kenal dalam rumusan berikut
- $\left ( a+b \right )^{2}$, atau
- $\left ( a-b \right )^{2}$
- $\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$2x^{2}+5x-3=0$.
Perhatikan langkah-langkah berikut
Langkah 1
Dalam persamaan $2x^{2}+5x-3=0$ diperoleh $a=2, b=5, c=-3$.
Karena bentuk kuadrat $2x^{2}+5x-3$ tidak dapat langsung diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna, maka kita perlu mengubah bentuk persamaan kuadrat itu dalam bentuk yang setara, yaitu dengan membagi seluruh koefisien dan konstanta dengan $a$. Dalam kasus ini kita peroleh,
$\displaystyle 2x^{2}+5x-3=0 $
$\displaystyle \Rightarrow \frac{2x^{2}}{2}+\frac{5x}{2}-\frac{3}{2}=\frac{0}{2}$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}=0$
Langkah 2
Perhatikan dari hasil Langkah 1, persamaan kuadrat $x^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}=0$ memiliki $a=1, b=\frac{5}{2}, c=-\frac{3}{2}$. Selanjutnya kita kelompokkan konstanta dalam satu ruas, sehingga kita peroleh
$\displaystyle x^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}=0$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0+\frac{3}{2}$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$
Langkah 3
Dari hasil Langkah 2, kita tambahkan kedua ruas dengan $\left (\frac{b}{2} \right )^{2}$, dalam kasus ini kita tambahkan dengan $\left (\frac{5}{4} \right )^{2}$, sehingga kita peroleh suatu bentuk kuadrat yang setara dengan bentuk kuadrat sempurna
$\displaystyle x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+\frac{5}{2}x+\left (\frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{3}{2}+\left (\frac{5}{4} \right )^{2}$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+\frac{5}{2}x+\left (\frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+2.\frac{5}{4}x+\left (\frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{49}{16}$
Langkah 4
Dari hasil Langkah 3 tersebut, maka dengan melihat Rumus $\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$, diperoleh
$\displaystyle x^{2}+2.\frac{5}{4}x+\left (\frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{49}{16}$
$\displaystyle \Rightarrow \left ( x+\frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{49}{16}$
Langkah 5
Dari hasil Langkah 4 tersebut, dengan mengingat konsep nilai akar diperoleh,
$\displaystyle \left ( x+\frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{49}{16}$
$\displaystyle \Rightarrow x+\frac{5}{4}=\pm \sqrt{\frac{49}{16}}$
$\displaystyle \Rightarrow x+\frac{5}{4}=-\frac{7}{4} \vee x+\frac{5}{4}=\frac{7}{4}$
$\displaystyle \Rightarrow x=-\frac{7}{4}-\frac{5}{4} \vee x=\frac{7}{4}-\frac{5}{4}$
$\displaystyle \Rightarrow x=-3 \vee x=\frac{1}{2}$
Jadi kita peroleh akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+5x-3=0$, adalah HP = $\left \{ -3, \frac{1}{2} \right \}$
Secara garis besar dalam penulisan jawaban, kita dapat menuliskan langkah-langkah tersebut sebagai berikut.
$\displaystyle 2x^{2}+5x-3=0 $
$\displaystyle \Rightarrow \frac{2x^{2}}{2}+\frac{5x}{2}-\frac{3}{2}=\frac{0}{2}$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}=0$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+\frac{5}{2}x+\left (\frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{3}{2}+\left (\frac{5}{4} \right )^{2}$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+\frac{5}{2}x+\left (\frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$
$\displaystyle \Rightarrow x^{2}+2.\frac{5}{4}x+\left (\frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{49}{16}$
$\displaystyle \Rightarrow \left ( x+\frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{49}{16}$
$\displaystyle \Rightarrow x+\frac{5}{4}=\pm \sqrt{\frac{49}{16}}$
$\displaystyle \Rightarrow x+\frac{5}{4}=-\frac{7}{4} \vee x+\frac{5}{4}=\frac{7}{4}$
$\displaystyle \Rightarrow x=-\frac{7}{4}-\frac{5}{4} \vee x=\frac{7}{4}-\frac{5}{4}$
$\displaystyle \Rightarrow x=-3 \vee x=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \therefore$ HP = $\left \{ -3, \frac{1}{2} \right \}$